Весь мир в твоих руках — все будет так, как ты захочешь
Весь мир в твоих руках — все будет так, как ты захочешь
Как сказал.
Тестирование
Урок 42. Свободные электромагнитные колебания
В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания.
Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения заряда, силы тока и напряжения.
Свободными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
Вынужденными называются колебания в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы
Свободные электромагнитные колебания – это периодически повторяющиеся изменения электромагнитных величин (q – электрический заряд, I – сила тока, U – разность потенциалов), происходящие без потребления энергии от внешних источников.
Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур или колебательный контур.
Колебательный контур – это система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C, катушки индуктивности L и проводника с сопротивлением R
Рассмотрим закрытый колебательный контур, состоящий из индуктивности L и емкости С.
Чтобы возбудить колебания в этом контуре, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд от источника ε. Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения . После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер
Свободные электромагнитные колебания можно наблюдать на экране осциллографа.
Как видно из графика колебаний, полученного на осцилографе, свободные электромагнитные колебания являются затухающими, т.е.их амплитуда уменьшается с течением времени. Это происходит потому, что часть электрической энергии на активном сопротивлении R превращается во внутреннюю энерги. проводника (проводник нагревается при прохождении по нему электрического тока).
Рассмотрим, как происходят колебания в колебательном контуре и какие изменения энергии при этом происходят. Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0).
Если зарядить конденсатор до напряжения U то в начальный момент времени t1=0 на обкладках конденсатора установятся амплитудные значения напряжения U и заряда q = CU.
Полная энергия W системы равна энергии электрического поля Wэл:
Если цепь замыкают, то начинает течь ток. В контуре возникает э.д.с. самоиндукции
Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно (так как, согламно правилу Ленца, возникающий индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван. Т.е. магнитное поле индукционного тока не дает мгновенно увеличиться магнитному потоку тока в контуре). При этом ток увеличивается постепенно, достигая своего максимального значения I в момент времени t2=T/4, а заряд на конденсаторе становится равным нулю.
По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля. Полная энергия контура после разрядки конденсатора равна энергии магнитного поля Wм:
В следующий момент времени ток течет в том же направлении, уменьшаясь до нуля, что вызывает перезарядку конденсатора. Ток не прекращается мгновенно после разрядки конденсатора вследствии самоиндукции (теперь магнитное поле индукционного тока не дает магнитному потоку тока в контуре мгновенно уменьшиться). В момент времени t3=T/2 заряд конденсатора опять максимален и равен первоначальному заряду q = q, напряжение тоже равно первоначальному U = U, а ток в контуре равен нулю I = 0.
Затем конденсатор снова разряжается, ток через индуктивность течёт в обратном направлении. Через промежуток времени Т система приходит в исходное состояние. Завершается полное колебание, процесс повторяется.
График изменения заряда и силы тока при свободных электромагнитных колебаниях в контуре показывает, что колебания силы тока отстают от колебаний заряда на π/2.
В любой момент времени полная энергия:
При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии Wэ, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию Wм катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается постоянной.
Свободные электрические колебания аналогичны механическим колебаниям. На рисунке приведены графики изменения заряда q(t) конденсатора и смещения x(t) груза от положения равновесия, а также графики тока I(t) и скорости груза υ(t) за один период колебаний.
В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону
Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний и период колебаний — формула Томпсона
Амплитуда q и начальная фаза φ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.
Для колебаний заряда, напряжения и силы тока получаются формулы:
Для катушки индуктивности:
Вспомомним основные характеристики колебательного движения :
q0, U, I — амплитуда – модуль наибольшего значения колеблющейся величины
Т — период – минимальный промежуток времени через который процесс полностью повторяется
ν — Частота – число колебаний в единицу времени
ω — Циклическая частота – число колебаний за 2п секунд
φ — фаза колебаний — величина стоящая под знаком косинуса (синуса) и характеризующая состояние системы в любой момент времени.
Свободные электромагнитные колебания в контуре (Зеленин С.В.)
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Введение
Успехи в изучении электромагнетизма в XIX веке привели к бурному развитию промышленности и техники, особенно это касается средств связи. Прокладывая линии телеграфа на большие расстояния, инженеры столкнулись с рядом необъяснимых явлений, которые побудили ученых к исследованиям. Так, в 50-х годах британский физик Уильям Томсон (лорд Кельвин) занялся вопросом о трансатлантической телеграфии. Учитывая неудачи первых практиков, он теоретически исследовал вопрос о распространении электрических импульсов вдоль кабеля. При этом Кельвин получил ряд важных выводов, которые в дальнейшем позволили осуществить телеграфирование через океан. Также в 1853 году британский физик выводит условия существования колебательного электрического разряда. Эти условия легли в основу всего учения об электрических колебаниях. На этом уроке и на других уроках данной главы мы рассмотрим некоторые основы теории электрических колебаний Томсона.
Электромагнитные колебания
Периодические или почти периодические изменения заряда, тока и напряжения в цепи называются электромагнитными колебаниями. Также можно дать еще одно определение.
Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения напряженности электрического поля () и магнитной индукции ().
Для возбуждения электромагнитных колебаний необходимо иметь колебательную систему. Простейшая колебательная система, в которой могут поддерживаться свободные электромагнитные колебания, называется колебательным контуром.
На рисунке 1 представлен простейший колебательный контур – это электрическая цепь, которая состоит из конденсатора и проводящей катушки, подсоединенной к обкладкам конденсатора.
Рис. 1. Колебательный контур
В таком колебательном контуре могут протекать свободные электромагнитные колебания.
Свободными называются колебания, которые осуществляются за счет запасов энергии, накопленной самой колебательной системой, без привлечения энергии извне.
Рассмотрим колебательный контур, изображенный на рисунке 2. Он состоит из: катушки с индуктивностью , конденсатора с емкостью , лампочки (для контроля наличия тока в цепи), ключа и источника тока.При помощи ключа конденсатор может быть подключен либо к источнику тока, либо к катушке. В начальный момент времени (конденсатор не подключен к источнику тока) напряжение между его обкладками равно 0.
Рис. 2. Колебательный контур
Заряжаем конденсатор путем замыкания его на источник постоянного тока.
При переключении конденсатора на катушку лампочка на короткое время загорается, то есть конденсатор быстро разряжается.
Рис. 3. График зависимости напряжения между обкладками конденсатора от времени при разрядке
На рисунке 3 изображен график зависимости напряжения между обкладками конденсатора от времени. На этом графике показан интервал времени с момента переключения конденсатора на катушку до момента, когда напряжение на конденсаторе равно нулю. Видно, что напряжение изменялось периодически, то есть в цепи протекали колебания.
Следовательно, в колебательном контуре протекают свободные затухающие электромагнитные колебания.
Механизм протекания свободных электромагнитных колебаний
В начальный момент времени (перед тем как замкнули конденсатор на катушку) вся энергия была сосредоточена в электрическом поле конденсатора (см. Рис. 4 а).
При замыкании конденсатора на катушку он начнет разряжаться. Ток разряда конденсатора, проходя по виткам катушки, создает магнитное поле. Это означает, что происходит изменение магнитного потока, охватывающего катушку, и в ней возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует мгновенному разряду конденсатора, следовательно, ток разряда нарастает постепенно. С ростом тока разряда убывает электрическое поле в конденсаторе, но возрастает магнитное поле катушки (см. Рис. 4 б).
В момент, когда поле конденсатора исчезнет (конденсатор разрядится), магнитное поле катушки будет максимальным (см. Рис. 4 в).
Далее магнитное поле будет ослабевать и в цепи появится ток самоиндукции, который будет препятствовать убыванию магнитного поля, следовательно, этот ток самоиндукции будет направлен так же, как и ток разряда конденсатора. Это приведет к перезарядке конденсатора. То есть, на той обкладке, где вначале был знак плюс, появится минус, и наоборот. Направление вектора напряженности электрического поля в конденсаторе также поменяется на противоположное (см. Рис. 4 г).
Ток в цепи будет ослабевать за счет возрастания электрического поля в конденсаторе и полностью исчезнет, когда поле в конденсаторе достигнет максимального значения (см. Рис. 4 д).
Рис. 4. Процессы, происходящие за один период колебаний
Далее конденсатор опять начнет разряжаться. Возникнет ток самоиндукции, который не даст конденсатору мгновенно разрядиться, и начнет возрастать магнитное поле (см. Рис. 4 е).
Когда электрическое поле конденсатора исчезнет, магнитное поле вновь достигнет своего максимума (см. Рис. 4 ж).
Начнется заряд конденсатора за счет тока индукции. По мере заряда ток будет ослабевать, а вместе с ним и магнитное поле (см. Рис. 4 з).
Когда конденсатор зарядится, ток в цепи и магнитное поле исчезнут. Система вернется в исходное состояние (см. Рис. 4 е).
Таким образом, мы рассмотрели процессы, происходящие за один период колебаний.
Математическое описание процессов, происходящих в колебательном контуре за один период колебаний
Значение энергии, сосредоточенной в электрическом поле конденсатора, в начальный момент времени вычисляется по формуле:
, где
– заряд конденсатора; – электроемкость конденсатора.
Через четверть периода вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки, которая определяется по формуле:
,
где – индуктивность катушки, – сила тока.
Для произвольного момента времени сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки является постоянной величиной (если пренебрегать затуханием):
Согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура остается постоянной, следовательно, производная от постоянной величины по времени будет равна нулю:
Вычисляя производные по времени, получим:
Учтем, что мгновенное значение тока – это первая производная заряда по времени:
Если мгновенное значение тока – это первая производная заряда по времени, то производная тока по времени будет второй производной заряда по времени:
Мы получили дифференциальное уравнение, решением которого будет гармоническая функция (заряд гармонически зависит от времени):
, где
– циклическая частота колебаний, которая определяется значениями электроемкости конденсатора и индуктивности катушки:
Поэтому колебание заряда, а значит, тока и напряжения в цепи, будут гармоническими.
Так как период колебаний связан с циклической частотой обратной зависимостью, то период равен:
Данное выражение называется формулой Томсона.
Список литературы
- Мякишев Г.Я. Физика: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Касьянов В.А. Физика. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Дрофа, 2005.
- Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., Физика 11. – М.: Мнемозина
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Что называют электромагнитными колебаниями?
- Вопросы в конце параграфа 28, 30 (2) – Мякишев Г.Я. Физика 11 (см. список рекомендованной литературы) (Источник).
- Как осуществляется превращение энергии в контуре?
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
Период колебаний конденсатора формула. Свободные электромагнитные колебания
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания могут быть различными по физической природе (механическими, электромагнитными, гравитационными), но описываются они одинаковыми по структуре уравнениями.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по гармоническому закону, т. е. по закону синуса или косинуса.
Колебания бывают свободными и вынужденными. Свободные колебания разделяют на незатухающие (собственные) и затухающие.
Свободные незатухающие, или собственные, колебания – это такие колебания, которые совершаются за счет энергии, сообщенной колебательной системе в начальный момент времени, при отсутствии дальнейшего внешнего воздействия на систему.
Дифференциальное уравнение собственных электрических гармонических колебаний контура (рис. 4.1)
,
где – электрический заряд конденсатора; – циклическая (круговая) частота свободных незатухающих колебаний, (здесь – индуктивность контура; – электрическая емкость контура).
Уравнение электрических гармонических колебаний:
,
где – амплитуда заряда конденсатора; – начальная фаза.
Сила тока в колебательном контуре
,
где – амплитуда силы тока, .
Рис. 4.1. Идеальный колебательный контур
Период колебаний – время одного полного колебания. За это время фаза колебаний получает приращение .
Частота колебаний – число колебаний, совершаемых за единицу времени,
.
Формулы, связывающие период, частоту и циклическую частоту:
; ; .
Период свободных незатухающих колебаний в электромагнитном колебательном контуре определяется формулой Томсона
.
Амплитуда результирующего колебания заряда, возникающего в двух разных контурах и складываемого на одной нагрузке, (складываемые колебания одного направления и одинаковой частоты)
,
где и – амплитуды двух колебаний; и – начальные фазы двух колебаний.
Начальная фаза результирующего колебания заряда, участвующего в двух колебаниях одного направления и одинаковой частоты,
.
Уравнение биений, т. е. негармонических колебаний, возникающих при наложении гармонических колебаний, частоты которых достаточно близки:
,
где – амплитуда биений; – частота биений, .
Уравнение траектории движения заряда, участвующего в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты:
.
Свободные затухающие колебания – это такие колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии колебательной системой. В электрическом колебательном контуре энергия расходуется на джоулево тепло и на электромагнитное излучение.
Дифференциальное уравнение затухающих электрических колебаний в контуре, имеющем электрическое сопротивление :
,
где – коэффициент затухания, (здесь – индуктивность контура).
Уравнение затухающих колебаний в случае слабого затухания () (рис. 4.2):
,
где – амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора; – начальная амплитуда колебаний; – циклическая частота затухающих колебаний, .
Рис. 4.2. Изменение заряда во времени при слабых затухающих колебаниях
Время релаксации – это промежуток времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз:
.
Время релаксации связано с коэффициентом затухания соотношением
.
Логарифмический декремент затухания колебаний
,
где – период затухающих колебаний.
Формула, связывающая логарифмический декремент колебаний с коэффициентом затухания и периодом затухающих колебаний:
.
Вынужденные колебания – это такие колебания, которые совершаются при наличии внешнего периодически изменяющегося воздействия.
Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре, имеющем электрическое сопротивление , при наличии вынуждающей ЭДС , изменяющейся по гармоническому закону , где – амплитудное значение ЭДС, а – циклическая частота изменения ЭДС (рис. 4.3):
,
где – коэффициент затухания, ; – индуктивность контура.
Рис. 4.3. Контур для наблюдения вынужденных электрических колебаний
Уравнение установившихся вынужденных электрических колебаний:
,
где – разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока.
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний заряда конденсатора
.
Разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока
.
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между циклическими частотами вынуждающего воздействия и собственных колебаний . Резонансная частота и резонансная амплитуда:
; .
Как происходят свободные электромагнитные колебания в контуре? кратко?
Свободными электромагнитными колебаниями называются колебания, которые происходят в колебательном контуре за счет запасов энергии, накопленных самой колебательной системой, без привлечения энергии извне. Такие колебания имеют свойство затухания, так как контур имеет активное сопротивление, т.е. их амплитуда уменьшается с течением времени. Часть энергии тока расходуется на излучение электромагнитных волн в пространство.
Период свободных электромагнитных колебаний в контуре без активного сопротивления (R=0), т.е. без затухания, определяют по следующей формуле:
Т = 2π √LC, которую называют формулой Томсона.
где Т – период колебаний
Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения заряда, силы тока и напряжения. Обычно эти колебания происходят с очень большой частотой, значительно превышающей частоту механических колебаний. Свободные электромагнитные колебания возникают при разрядке конденсатора через катушку индуктивности. Если замкнуть обкладки заряженного кондесатора на катушку индуктивности, то при разрядке конденсатора через катушку в цепи можно наблюдать электромагнитные колебания, т.е. ток меняет свою величину и направление много раз. Так как свободными колебаниями называются колебания, которые возникают в системе после выведения ее из положения равновесия, то колебательная система (конденсатор и катушка) выводится из равновесия при сообщении конденсатору заряда. Зарядка конденсатора эквивалентна отклонению маятника от положения равновесия. В электрической цепи можно получить и вынужденные электромагнитные колебания. Вынужденными колебаниями называются колебания в цепи под действием внешней периодически изменяющейся электродвижущей силы. Вынужденные колебания вызываются периодической ЭДС.
Почему ток в колебательном контуре увеличивается и уменьшается постепенно?
Потому что на перекачку энергии из магнитного поля в электрическое и обратно требуется время. И это время определяется ёмкостью конденсатора и индуктивностью катушки.
Чему равна энергия контура, согласно законам физикии, в произвольный момент времени?
Насколько я помню, энергия колебательного контура, состоящего из конденсатора и катушки, остается постоянной и в любой момент времени равна сумме энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля тока в катушке.
Электромагнитные колебания
Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.
Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.
Колебательный контур
Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.
Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.
Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.
Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.
Начальный момент: . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.
Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.
Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.
Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).
Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.
Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же — координата маятника) уменьшается.
Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.
Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.
Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.
Вторая четверть: . Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).
Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.
Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.
Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .
Третья четверть: . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).
Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.
Конец третьей четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).
Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.
Четвёртая четверть: . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).
Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.
Конец четвёртой четверти и всего периода: . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).
Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок — рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.
Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!
Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.
Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.
Энергетические превращения в колебательном контуре
Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .
Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.
Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:
Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:
В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:
Соотношение (1) применяется при решении многих задач.
Электромеханические аналогии
В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.
Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :
Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.
Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:
Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:
Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.
Гармонический закон колебаний в контуре
Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».
Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).
Рис. 10. Положительное направление обхода
Сила тока считается положительной 0)’ class=’tex’ alt='(I > 0)’ /> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .
Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора.
При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если 0′ class=’tex’ alt=’I > 0′ /> , то заряд левой пластины возрастает, и потому 0′ class=’tex’ alt=’dot > 0′ /> .
Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:
Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если — функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):
Подставляя сюда и , получим:
Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому
Перепишем это в виде:
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:
Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:
Мы снова пришли к формуле Томсона.
Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.
Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :
Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:
Амплитуда силы тока равна:
Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).
Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .
А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!
Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).
Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока
Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
Используя формулу приведения
запишем закон изменения тока (13) в виде:
Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .
Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).
Вынужденные электромагнитные колебания
Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.
Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).
Рис. 12. Вынужденные колебания
Если напряжение источника меняется по закону:
то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .
Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.
Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре.
Колебательный контур — это электрическая цепь, содержащая индуктивность , емкость и сопротивление , в которой могут возбуждаться электрические колебания.
Колебательный контур — один из основных элементов радиотехнических систем. Различают линейные и нелинейные колебательные контуры. Параметры , и линейного колебательного контура не зависят от интенсивности колебаний, а период колебаний не зависит от амплитуды.
При отсутствии потерь () в линейном колебательном контуре происходят свободные гармонические колебания.
Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают от батареи аккумуляторов, сообщив ему энергию , и переводят переключатель в положение 2.
После замыкания цепи конденсатор начнет разряжаться через катушку индуктивности, теряя энергию. В цепи появится ток, вызывающий переменное магнитное поле. Переменное магнитное поле, в свою очередь приводит к созданию вихревого электрического поля, препятствующего току, в результате чего изменение тока происходит постепенно. По мере увеличения тока через катушку возрастает энергия магнитного поля . Полная энергия электромагнитного поля контура остается постоянной (при отсутствии сопротивления) и равной сумме энергий магнитного и электрического полей. Полная энергия, в силу закона сохранения энергии, равна максимальной энергии электрического или магнитного поля:
,
где — индуктивность катушки, и — сила тока и ее максимальное значение, и — заряд конденсатора и его максимальное значение, — емкость конденсатора.
Процесс перекачки энергии в колебательном контуре между электрическим полем конденсатора при его разрядке и магнитным полем, сосредоточенным в катушке, полностью аналогичен процессу превращения потенциальной энергии растянутой пружины или поднятого груза математического маятника в кинетическую энергию при механических колебаниях последних.
Ниже приводится соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах.
Источник: